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@@ -169,16 +169,19 @@ $$= an \sum\_{j=1}{i} (\frac{1}{5})^{j-1} + T(n (\frac{1}{5})^i) = an \cdot \fra
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Suponha que $n= 5^i$. Utilizamos esse recurso para descobrir o comportamento da função. Descoberto o comportamento dela vamos provar que esse comportamento está certo (ou errado). Assumindo isso:
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-$$T(n) = a \cdot \frac{1-n}{\frac{1}{5}-1} + 1 = 1 - 5/4 a (1 - n)
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-$$
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+$$T(n) = a \cdot \frac{1-n}{\frac{1}{5}-1} + 1 = a \cdot \frac{5-5n}{1-5}+1 = \frac{-5a+5na+4}{4}$$
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-Veja que belo, uma função $O(n)$. Agora vamos verificar se a recurção original é realmente $O(n)$, para isso vamos usar indução. Veja que o caso BASE é trivial. Lembre que estamos assumindo (nossa hipótese) $T(n) = 1 - 5/4 a (1 - n)$.
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+Veja que belo, uma função $\Theta(n)$. Agora vamos verificar se a recurção original é realmente $\Theta(n)$, para isso vamos usar indução. Veja que o caso BASE é trivial. Lembre que estamos assumindo (nossa hipótese) $T(n) = \frac{-5a+5na+4}{4}$.
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$$ T(n) = a n + T(n/5)$$
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Pela hipótese:
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-$$ T(n) = a n + T(n/5) = an + 1 - 5/4 a (1 - n/5) $$
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+$$ T(n) = a n + T(n/5) = an + \frac{-5a+n+4}{4} = \frac{4an-5a+n+4}{4} = \frac{4an-5a+na+4}{4}= \frac{-5a+5na+4}{4}$$
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+
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+Que é o que queríamos provar. Agora que sabemos que o Particione-D é $\Theta(n)$, temos que provar o mesmo para o Select-BFPRT. Note que o tempo consumido por essa função será:
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+
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+$$T(n) \leq O(n) + T(max(k, n−k)) \leq O(n) + T(9n/10)$$
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