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@@ -6,7 +6,13 @@ e lebrem que
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$$ 2 lg \space (n!) = lg \space (n!^2) = lg \space(\prod\_{i=0}^{n-1} (n-i) \cdot (i+1)) $$
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$$ (n-i) \cdot (i+1) = ni+n-i^2-i$$
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-Lembre que o nosso $i \in [0, n-1]$
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+Se realizarmos primeira derivada dessa função em $i$ e igualarmos a 0, vamos obter que $n-2i-1 = 0$. Resolvendo essa equaçao e sabendo que a parábola da equação de segundo grau é voltada para baixo, descobrimos que o ponto máximo dessa equação é em $i = \frac{n-1}{2}$. Veja que $i \in [0, n-1]$, calculando o valor da equação nos tremos chegamos a $n$ em ambos o caso. Portanto como o máximo está entre os extremos e nelas o valor é $n$, podemos concluir que,
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+
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+$$ (n-i) \cdot (i+1) \geq n $$
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+
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+Usando isso,
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+
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+$$ 2 lg \space (n!) \geq 2 lg \space (\prod\_{i=0}^{n-1} n) = 2 lg \space (n^n) = 2 n lg \space (n)$$
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Vamos provar por indução. No caso base, $n = 4$,
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