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@@ -100,14 +100,16 @@ Invertendo a ordem e fazendo $B \cdot A$, vamos obter um $C$ de dimensões $n\*n
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Veja que nessa imagem há no máximo $\lceil \frac{n}{7} \rceil$ pontos em cada linha. Há $\lceil \frac{1}{2} \lceil \frac{n}{7} \rceil \rceil$ colunas a direita da mediana, incluindo ela, note que há duas dessas colunas em que o número de pontos é menor. Portanto há $5(\lceil \frac{1}{2} \lceil \frac{n}{7} \rceil \rceil-2)$ pontos menores que a mediana. Note que:
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-$5(\lceil \frac{1}{2} \lceil \frac{n}{7} \rceil \rceil-2) \geq \frac{n}{14} - 10$
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+$5(\lceil \frac{1}{2} \lceil \frac{n}{7} \rceil \rceil-2) \geq \frac{5n}{14} - 10$
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-Ou seja na prónima interação vamos calcular um número maior que $\frac{n}{14} - 10$ no melhor caso e um número menor que $n-\frac{n}{14} - 10$ no pior caso. Vamos assumir que vamos sempre pegar o pior caso para poder calcular o pior caso. Note também que en todos os casos vou ter que calcular a medina das medianas, que vai consumir tempo $T(\lceil \frac{n}{7} \rceil)$. Dessa maneira o tempo total será:
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+Ou seja na prónima interação vamos calcular um número maior que $\frac{5n}{14} - 10$ no melhor caso e um número menor que $n-\frac{5n}{14} - 10$ no pior caso. Vamos assumir que vamos sempre pegar o pior caso para poder calcular o pior caso. Note também que en todos os casos vou ter que calcular a medina das medianas, que vai consumir tempo $T(\lceil \frac{n}{7} \rceil)$. Dessa maneira o tempo total será:
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-$$T(n) = T(\lceil \frac{n}{7} \rceil) + T(\frac{13n}{14} + 10) + O(n)$$
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+$$T(n) = T(\lceil \frac{n}{7} \rceil) + T(\frac{9n}{14} + 10) + O(n)$$
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Queremos provar que o algorítmo continua linear, ou seja, $T(n) \leq cn$, utilizando essa hipótese:
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-$$T(n) \leq c\lceil \frac{n}{7} \rceil + c\frac{13n}{14} + 10c + an$$
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-$$T(n) \leq c\lceil \frac{n}{7} \rceil + c\frac{13n}{14} + 10c + an$$
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+$$T(n) \leq c\lceil \frac{n}{7} \rceil + c\frac{9n}{14} + 10c + an$$
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+$$T(n) \leq c\lceil \frac{n}{7} \rceil + c\frac{9n}{14} + 10c + an$$
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+$$T(n) \leq c\frac{n}{7} + c + c\frac{9n}{14} + 10c + an$$
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+$$T(n) \leq c\frac{n}{7} + c + c\frac{9n}{14} + 10c + an$$
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