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 Vamos utilzar que 
 $$2 lg \space (n!) \geq (n/2) lg \space n$$
 e lebrem que
-$$ 2 lg \space (n!) = lg \space (n!^2) = lg \space(\prod\_{i=0}^{n-1} (n-1i) \cdot (i+1)) $$
+$$ 2 lg \space (n!) = lg \space (n!^2) = lg \space(\prod\_{i=0}^{n-1} (n-i) \cdot (i+1)) $$
+$$ (n-i) \cdot (i+1) = ni+n-i^2-i$$
+
+Essa equação depende de $i$ e é uma parábola com cavidade para baixo, portanto possi ponto máximo. Vamos sua primeira derivada é $n-2i-1$, igualando isso a 0, $n-2i-1 = 0$, resulta em $i = \frac{n-1}{2}$, portanto, 
+
+$$ (n-i) \cdot (i+1) \leq (n-\frac{n-1}{2}) \cdot (\frac{n-1}{2}+1) = \frac{n+1}{2} \cdot \frac{n+1}{2}$$
 
 
 Vamos provar por indução. No caso base, $n = 4$,